Gunakan lemma pembagian Euclid untuk menunjukkan bahwa pangkat tiga dari sembarang bilangan bulat positif berbentuk 9m,9m+1or9m+8.

Gunakan lemma pembagian Euclid untuk menunjukkan bahwa pangkat tiga dari sembarang bilangan bulat positif berbentuk 9m,9m+1or9m+8.

Mari kita perhatikan dua bilangan positif a dan b di mana b = 3

Kita tahu bahwa Menurut Divisi Euclid Lemma

a = bq + r { syarat untuk r adalah (0 r < b)}

a = 3q + r —————(i) {b=3}

jadi r adalah bilangan bulat yang terletak di antara o dan 3

Oleh karena itu r dapat berupa 0, 1 atau 2.

Kasus 1: Ketika r = 0, persamaan (i) menjadi

a = 3q

Pada pangkat tiga kedua sisi, kita dapatkan

a 3 = (3q) 3 = 27 q 3 = 9 (3q 3 ) = 9m

a 3 = 9m {dengan m = 3q 3 }

Kasus 2: Ketika r = 1, persamaan (i) menjadi

a = 3q + 1

Pada pangkat tiga kedua sisi, kita dapatkan

a 3 = (3q + 1) 3 {menggunakan (a+b)3= a 3 + b 3 + 3a2b + 3ab 2 }

= (3q) 3 + 13 + 3 × 3q × 1(3q + 1)

= 27q 3 + 27q 2 + 9q + 1

= 9 ( 3q 3 + 3q 2 + q) + 1

= 9m + 1

Dimana m = ( 3q 3 + 3q 2 + q)

Kasus 3: Ketika r = 2, persamaannya menjadi

a = 3q + 2

Pada pangkat tiga kedua sisi, kita dapatkan

a 3 = (3q + 2) 3

= 27q 3 + 54q 2 + 36q + 8

= 9 (3q 3 + 6q 2 + 4q) + 8

a3 = 9m + 8

Dimana m = (3q3 + 6q2 + 4q)

Jadi a dapat berbentuk apa saja 9m atau 9m + 1 atau, 9m + 8

Oleh karena itu terbukti

10
Author: fungsi