Buktikan bahwa untuk sembarang bilangan bulat positif n, n3 – n habis dibagi 6.

Buktikan bahwa untuk sembarang bilangan bulat positif n, n3 – n habis dibagi 6.

Penyelesaian:

ada dua metode untuk memecahkan masalah yang dibahas di bawah ini.

Metode 1:

Mari kita pertimbangkan

a = n ³ – n

a = n (n ² – 1)

a = n (n + 1)(n – 1)

Asumsi:

1. Dari tiga (n – 1), n, (n + 1) harus genap, jadi a habis dibagi 2.
2. (n – 1) , n, (n + 1) adalah bilangan bulat berurutan sehingga terbukti a harus habis dibagi 3.

Dari (1) dan (2) a harus habis dibagi 2 × 3 = 6

Jadi, n³ – n habis dibagi 6 untuk sembarang bilangan bulat positif n.

Metode 2:

Bila suatu bilangan dibagi 3, sisa yang mungkin adalah 0 atau 1 atau 2.

n = 3p atau 3p + 1 atau 3p + 2, di mana r adalah bilangan bulat.

Kasus 1: Pertimbangkan n = 3p

Maka n habis dibagi 3.

Kasus 2: Pertimbangkan n = 3p + 1

Maka n – 1 = 3p + 1 -1

n -1 = 3p habis dibagi 3.

Kasus 3: Pertimbangkan n = 3p + 2

Maka n + 1 = 3p + 2 + 1

n+1 = 3p + 3

n+1 = 3(p + 1) habis dibagi 3.

Jadi, kita dapat mengatakan bahwa salah satu bilangan di antara n, n – 1 dan n + 1 selalu habis dibagi 3.

n (n – 1) (n + 1) habis dibagi 3.

Demikian pula, ketika suatu bilangan dibagi 2, sisa yang mungkin adalah 0 atau 1.

n = 2q atau 2q + 1, di mana q adalah bilangan bulat.

Kasus 1: Pertimbangkan n = 2q

Maka n habis dibagi 2.

Kasus 2: Pertimbangkan n = 2q + 1

Maka n-1 = 2q + 1 – 1

n – 1 = 2q habis dibagi 2 dan

n + 1 = 2q + 1 + 1

n +1 = 2q + 2

n+1= 2 (q + 1) habis dibagi 2.

Jadi, kita dapat mengatakan bahwa salah satu bilangan di antara n, n – 1 dan n + 1 selalu habis dibagi 2.

n (n – 1) (n + 1) habis dibagi 2.

Karena, n (n – 1) (n + 1) habis dibagi 2 dan 3.

Oleh karena itu, sesuai dengan aturan pembagian 6, bilangan yang diberikan habis dibagi enam.

n ³ – n = n (n – 1) (n + 1) habis dibagi 6.

Lihat video di bawah ini untuk mengetahui lebih banyak tentang perkalian bilangan bulat

Bacaan lebih lanjut

Tunjukkan bahwa sembarang bilangan bulat positif berbentuk 3q ,3q+1, tetapi tidak berbentuk 3q+2

Tunjukkan bahwa sembarang bilangan bulat ganjil positif berbentuk 6q + 1 atau 6q + 3 atau 6q + 5; dimana q adalah bilangan bulat.

10