Buktikan bahwa akar kuadrat dari 3 adalah bilangan irasional.

Buktikan bahwa akar kuadrat dari 3 adalah bilangan irasional.

Kita harus membuktikan bahwa akar kuadrat dari 3 adalah bilangan irasional.

Bukti

Mari kita asumsikan sebaliknya bahwa 3 adalah bilangan rasional.

Dapat dinyatakan dalam bentuk p/q

di mana p dan q adalah ko-prima dan q≠ 0.

3 = p/q

3 = p 2 /q 2 (Mengkuadratkan di kedua sisi)

3q 2 = p 2 ………………………………..(1)

Ini berarti bahwa 3 membagi p 2 dan juga 3 membagi p karena setiap faktor harus muncul dua kali agar kuadrat ada.

Jadi p = 3r

di mana r adalah bilangan bulat.

p 2 = 9r 2 ………………………………..(2)

dari persamaan (1) dan (2)

⇒ 3q 2 = 9r 2

⇒ q 2 = 3r 2

Kita memiliki dua kasus untuk dipertimbangkan sekarang.

Kasus I

Misalkan r genap. Maka r 2 genap, dan 3r 2 genap yang menunjukkan bahwa q 2 genap dan q genap, tetapi hal ini tidak mungkin terjadi. Jika q dan r keduanya genap maka gcd(q,r)≥2 merupakan kontradiksi.

Kasus II

Sekarang anggaplah r ganjil. Kemudian r 2 ganjil dan 3r 2 ganjil yang menyiratkan bahwa q 2 ganjil dan q ganjil. Karena q dan r keduanya ganjil, kita dapat menulis q=2m−1 dan r=2n−1 untuk beberapa m,n∈N.

Karena itu

q 2 = 3r 2

(2m−1) 2 =3(2n−1) 2

4m 2 4m +1=3(4n 2 4n +1)

4m 2 4m +1=12n 2 12n+3

4m 2 4m =12n 2 12n+2

2m 2 2m =6n 2 6n +1

2(m 2 m)=2(3n 2 3n )+1

Kita perhatikan bahwa ruas kiri persamaan ini genap, sedangkan ruas kanan persamaan ini ganjil, yang merupakan kontradiksi. Oleh karena itu tidak ada bilangan rasional r sehingga r 2 =3.

Jadi akar dari 3 adalah bilangan irasional.

Maka Terbukti

10
Author: fungsi