Dengan menggunakan identitas penjumlahan dan pengurangan, buktikan bahwa sin(A + B)sin(A – B) = sin2A – sin2B

Dengan menggunakan identitas penjumlahan dan pengurangan, buktikan bahwa sin(A + B)sin(A – B) = sin2A – sin2B

Kita harus membuktikan sin(A+B) * sin(AB) = sin 2 A – sin 2 B

Untuk membuktikan

sin(A+B) * sin(AB) = sin 2 A – sin 2 B

Bukti

Mari kita mulai dengan LHS yang diberikan

sin(A+B) * sin(AB)

Kita tahu rumus untuk sin(A+B) = sin(A+B)=sin(A)cos(B)+cos(A)sin(B)

Juga sin(−B)=−sin(B)

cos(−B)=cos(B), jadi

sin(A−B)=sin(A)cos(B)−cos(A)sin(B)

Oleh karena itu dengan mensubstitusi nilai-nilai dalam persamaan LHS yang diberikan yaitu sin(A+B)⋅sin(A−B) kita dapatkan,

=(sinAcosB+cosAsinB)(sinAcosB−cosAsinB)

=(sinAcosB) 2 (cosAsinB) 2

Sekarang akan menggunakan identitas (a+b)(a−b)=a 2 – b 2 dalam persamaan di atas

=sin 2 Acos 2 B−sin 2 Bcos 2 A

=sin 2 A(1−sin 2 B)−sin 2 B(1−sin 2 A)

Sekarang kita tahu bahwa sin 2 +cos 2 =1 (Dengan teorema Pythagoras)

=sin 2 A−sin 2 B−sin 2 A sin 2 B+sin 2 Bsin 2 A

=sin 2 A−sin 2 B

= RHS

Maka Terbukti

sin(A+B) sin(AB) = sin 2 A – sin 2 B

10